LE paradoxe

  • Initiateur de la discussion Initiateur de la discussion Ebion
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Ebion a dit:
Veux-tu dire : l'incohérence?
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Je crois que j’ai fait un anglicisme :desole:

Mais il y autre chose dans ce paradoxe, c’est qu’il n’est même pas un paradoxe, c’est pire que ça, la formulation elle‑même est invalide (proposition qui dépend d’elle‑même).

Sinon, sais‑tu que 0.999999999999 … = 1 :joueur:
 
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Hibou57 a dit:
Je crois que j’ai fait un anglicisme :desole:

Mais il y autre chose dans ce paradoxe, c’est qu’il n’est même pas un paradoxe, c’est pire que ça, la formulation elle‑même est invalide (proposition qui dépend d’elle‑même).

Sinon, sais‑tu que 0.999999999999 … = 1 :joueur:
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Bonjour ;)

Pourtant on fait des tas de phrases autoréférentielles, par exemple en linguistique et en grammaire (qui sont des « méta-discours », mais discours quand mêmes). Et en général, cela ne pose pas de problème de logique...

Oui j'avais entendu parler de ce chiffre.

Cela ne surprend plus. Après tout, 1/3 = 0,3333333...; mais en même temps 1/3 x 3 = 1.
 
Hibou57 a dit:
Je crois que j’ai fait un anglicisme :desole:

Mais il y autre chose dans ce paradoxe, c’est qu’il n’est même pas un paradoxe, c’est pire que ça, la formulation elle‑même est invalide (proposition qui dépend d’elle‑même).

Sinon, sais‑tu que 0.999999999999 … = 1 :joueur:
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On dit plutôt que ce nombre tend vers 1, c'est simple à comprendre, ce nombre existe toujours dans le corps des réel auquel on a ôté le nombre 1, ce qui signifie qu'il n'est pas égal à 1.
 
Ebion a dit:
Bonjour ;)

Pourtant on fait des tas de phrases autoréférentielles, par exemple en linguistique et en grammaire (qui sont des « méta-discours », mais discours quand mêmes). Et en général, cela ne pose pas de problème de logique...

[…]
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Il y a auto‑référentiel et auto‑référentiel. Quand une chose ne se définie effectivement qu’en terme d’elle‑même, elle ne peut permettre que des raisonnement effectivement circulaire, ça ne peut que tourner en rond.

Il existe une différence intéressante à rapporter ici, celle entre les définitions predicative et impredicative (les termes sont en Anglais). Les définitions predicative, ne font référence à elles‑même en aucune manière et ne posent alors aucun problème. Les définitions impredicative font indirectement référence à elle‑même et sont parfois considérées comme problématique mais pas par tout le monde. Je donne un lien et mon avis juste après : Predicative and Impredicative Definitions (iep.utm.edu).

Mon avis est que les définitions impredicative, ne sont parfois circulaires qu’en apparence. Si on peut les séparer en cas qui sont en nombre fini et que pour chaque cas, le terme défini n’apparaît pas dans la définition, alors la définition n’est pas réellement circulaire, elle peut être implicitement inductive, bien qu’elle soit explicitement mal formulée.

Un exemple de définition impredicative qui est souvent donné et simple à aborder, c’est celui du plus petit nombre d’un ensemble de nombre (que je limite ici à un ensemble fini). Si on le défini comme « n de l’ensemble S tel que pour tous nombres de S, n est inférieur ou égale à ce nombre », la définition est impredicative, parce que n est défini en faisant référence à un ensemble auquel il appartient lui‑même. Mais en pratique, on peut trouver ce nombre sans jamais rester coincé dans une boucle infinie. Tout le monde sait comment faire, mais je le décrit juste un peu formellement pour être plus explicite, parce que l’explicite est la solution du problème.

  1. On fait une copie de l’ensemble S et la suite est avec cette copie.
  2. Si l’ensemble est vide, ça n’a pas de sens, on tient ce cas pour une aberration et on ne va pas plus loin.
  3. On retire un élément de l’ensemble, au hasard, et on le garde.
  4. Si l’ensemble est devenu vide, alors le plus petit nombre de l’ensemble était celui (l’unique) qu’on vient de retirer; il est la réponse.
  5. S’il reste des éléments dans l’ensemble, on retire un autre élément de l’ensemble, et s’il est plus petit que celui qu’on avait gardé, on garde celui là à la place et on laisse tomber celui qu’on avait gardé avant. On boucle comme ça jusqu’à qu’il ne reste plus rien dans l’ensemble, et le nombre qui est resté gardé à la fin, est la réponse.
Dans aucune de ces étapes, le nombre qu’on garde à chaque étape, ne fait partie de l’ensemble. Le truc, c’est que cette définition alternative, qui n’est rien d’autre que les étapes détaillées d’un calcul, est bien moins concise que la définition imprédicative à laquelle elle correspond. Remarque que la définition impredicative, celle que j’appel la mauvaise définition, ne dit même rien du cas où l’ensemble est vide, ce qui est une sérieuse lacune et justifie de l’appeler une mauvaise définition ou au moins une définition vague.

En résumé :
  • Il y a les définitions qui ne font aucune forme de référence à l’objet défini, elles sont predicative.
  • Il y a les définitions qui font directement ou indirectement référence à l’objet défini.
  • Ces dernières sont de deux sortes : elles ont une solution calculable ou elle n’en ont pas, et seules les secondes sont véritablement circulaires, les premières étant juste mal formulée parce que la mauvaise formulation est plus simple à lire et à écrire mais n’a de sens que sous l’implicite qu’on devine la solution pour sortir de l’apparente circularité.
L’implicite par commodité, pose souvent des problèmes d’ailleurs, pas seulement dans ce cas là.

En fait, ce qui a été posé comme une mauvaise définition à priori, pourrait cependant être posé comme une proposition sur la solution, à posteriori. C’est à dire qu’on pourrait faire cette proposition sur le résultat du calcul : « le résultat, n, s’il existe, est telle que pour tous nombres de l’ensemble S, n est inférieur ou égal à ce nombre  ». Là, c’est une propriété du résultat, qui est supposé avoir été obtenu par le calcul, c’est à dire déjà défini.
 
Dernière édition:
Arrêtez de vouloir tout démontrer. Il existerait toujours des énoncés qu on ne peut affirmer ni vrai ni faux. Theorem de godel.
 
Hibou57 a dit:
[…]
En résumé :
  • Il y a les définitions qui ne font aucune forme de référence à l’objet défini, elles sont predicative.
  • Il y a les définitions qui font directement ou indirectement référence à l’objet défini.
  • Ces dernières sont de deux sortes : elles ont une solution calculable ou elle n’en ont pas, et seules les secondes sont véritablement circulaires, les premières étant juste mal formulée parce que la mauvaise formulation est plus simple à lire et à écrire mais n’a de sens que sous l’implicite qu’on devine la solution pour sortir de l’apparente circularité.
[…]
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J’ai oublié d’ajouter (et trop tard pour éditer) :

  • Ce qu’on prend pour une définition est parfois peut‑être plutôt une proposition sur les termes résultants d’une définition.
 
Hibou57 a dit:
Je crois que j’ai fait un anglicisme :desole:

Mais il y autre chose dans ce paradoxe, c’est qu’il n’est même pas un paradoxe, c’est pire que ça, la formulation elle‑même est invalide (proposition qui dépend d’elle‑même).

Sinon, sais‑tu que 0.999999999999 … = 1 :joueur:
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Ebion a dit:
Bonjour ;)

Pourtant on fait des tas de phrases autoréférentielles, par exemple en linguistique et en grammaire (qui sont des « méta-discours », mais discours quand mêmes). Et en général, cela ne pose pas de problème de logique...

Oui j'avais entendu parler de ce chiffre.

Cela ne surprend plus. Après tout, 1/3 = 0,3333333...; mais en même temps 1/3 x 3 = 1.
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en vous lisent, je me suis dis pour un € que l'on a en poche il y a que 0,80 c€ qui est vraiment a nous
 
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