Projet de fin du semestre
- Initiateur de la discussion mchicha91
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Courbe brachistochrone
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Aller à : Navigation, rechercher Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
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Le mot brachistochrone désigne une courbe dans un plan vertical sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés : on parle de problème de la courbe brachistochrone.
voici une 1ère info
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Le mot brachistochrone désigne une courbe dans un plan vertical sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés : on parle de problème de la courbe brachistochrone.
voici une 1ère info
Dans l'étude de la machine méconnue de Léonard de Vinci, on a vu que cette machine ne peut fonctionner que si la rampe de la spirale est une courbe, et non une rampe rectiligne. Il semble que Léonard de Vinci n'ait jamais pu faire fonctionner cette machine faute d'avoir eu cette idée; idée qui, probablement, est venue plus tard aux personnes qui ont construit cette mystérieuse machine qui se cache dans un monastère.
D'autres machines ont utilisé une rampe courbe.
En effet, la chute d'une bille sur une rampe courbe brachistochrone réserve bien des surprises:
La bille qui parcourt le chemin le plus long, sur la courbe, va plus vite, et arrive avec une vitesse plus grande que la bille qui descend la rampe rectiligne.
L'expérience suivante le démontre:
Les calculs ( désolé, la feuille de calcul est en allemand! ) le démontrent, le passage dans la courbe fait gagner 0,007 J d'énergie cinétique.
Pourtant, on pourrait croire que le supplément d'énergie cinétique apporté par la chute dans la cuvette serait annulé par la remontée, mais il n'en est rien!
D'où vient donc ce supplément d'énergie cinétique?
En fait, il semble bien venir du fait qu'en passant dans la courbe de la cuvette, la bille est soumise brièvement à la force centrifuge, qui lui communique ce surplus d'énergie cinétique.
Le comportement de la bille est à rapprocher du comportement des particules d'un fluide sur une aile:
Les particules du fluide, en l'occurence de l'air dans cet exemple, soumises à la Loi de Bernouilli, ont une vitesse plus grande sur l'extrados, qui comporte un trajet plus long, que sur l'intrados, et même après le bord de fuite, cette vitesse est toujours supérieure, même si elle tend à décroître.
Si l'intrados était plus rectiligne, la différence serait encore plus flagrante.
Bernouilli s'est également intéressé aux propriétés brachistrochrones du cycloïde.
Cette machine utilise les les propriétés brachistochrones de sa rampe:
D'autres machines ont utilisé une rampe courbe.
En effet, la chute d'une bille sur une rampe courbe brachistochrone réserve bien des surprises:
La bille qui parcourt le chemin le plus long, sur la courbe, va plus vite, et arrive avec une vitesse plus grande que la bille qui descend la rampe rectiligne.
L'expérience suivante le démontre:
Les calculs ( désolé, la feuille de calcul est en allemand! ) le démontrent, le passage dans la courbe fait gagner 0,007 J d'énergie cinétique.
Pourtant, on pourrait croire que le supplément d'énergie cinétique apporté par la chute dans la cuvette serait annulé par la remontée, mais il n'en est rien!
D'où vient donc ce supplément d'énergie cinétique?
En fait, il semble bien venir du fait qu'en passant dans la courbe de la cuvette, la bille est soumise brièvement à la force centrifuge, qui lui communique ce surplus d'énergie cinétique.
Le comportement de la bille est à rapprocher du comportement des particules d'un fluide sur une aile:
Les particules du fluide, en l'occurence de l'air dans cet exemple, soumises à la Loi de Bernouilli, ont une vitesse plus grande sur l'extrados, qui comporte un trajet plus long, que sur l'intrados, et même après le bord de fuite, cette vitesse est toujours supérieure, même si elle tend à décroître.
Si l'intrados était plus rectiligne, la différence serait encore plus flagrante.
Bernouilli s'est également intéressé aux propriétés brachistrochrones du cycloïde.
Cette machine utilise les les propriétés brachistochrones de sa rampe:
La description de cette machine nous est donnée ainsi sur le site http://quanthomme.free.fr/energielibre/machines/MPV.htm :
"Bruce Welsh est un ingénieur en électronique à l’esprit ouvert qui se consacre aux énergies alternatives depuis vingt ans. Il est convaincu que l’on peut construire des machines à sur-unité.
Il avait un oncle qui aimait bricoler, inventer. Un jour, Bruce âgé de sept ou huit ans, rendit visite à l’oncle qui montra au grand-père le nouveau jeu qu’il avait fait pour ses enfants (il en avait six).
Le jeu faisait dans les soixante centimètres de hauteur pour une base de trente centimètres carrés. Il consistait en une rampe en spirale de trois tours et demi. Au bas de la rampe était placée une roue à aubes, reliée par quelques engrenages à un ascenseur remontant jusqu’au dessus du jeu où se trouvait une trémie garnie de dix billes. Une ouverture à bascule dans la trémie permettait de laisser passer, une par une les billes qui descendaient la rampe en trois à cinq secondes.
La bille touchait la roue à aube ce qui donnait un petit mouvement ascendant qui libérait une autre bille alors que la première était sur l’ascenseur et allait vers la trémie. Et ainsi de suite.
Il y avait cinq billes à la fois sur l’ascenseur et le jeu une fois lancé ne s’arrêtait plus. Pour débuter, toutes les billes devaient être dans la trémie et Bruce se souvient d’avoir été grondé par l’oncle car il avait touché la roue à aube, stoppant ainsi le jeu bientôt relancé par l’oncle. Et, plusieurs heures après, le jeu fonctionnait toujours."
On sait que l'énergie nécessaire pour faire remonter un corps à son point de départ est égale à l'énergie apportée par sa chute. Il en faut même un peu plus, car une partie de cette énergie se dissipe en frottements dans les diverses pièces de la machine.
Et pourtant, on nous témoigne que cette machine fonctionnait!
La solution est simple:
Sur la rampe curviligne et relevée, les billes sont soumises à la force centrifuge qui leur communique une énergie cinétique supplémentaire, comme dans le cas de la bille sur la courbe brachistochrone.
On peut imaginer une machine un peu plus simple dans le même style:
La roue, comportant un "plancher" incliné, quand la bille arrive en haut, au bout du flasque, elle bascule sur le plan incliné rectiligne; elle y roule doucement, puis tombe sur la rampe courbe, où elle prend de la vitesse et vient percuter une aube de la roue, qui tourne d'une case, libérant une autre bille.
Un cliquet, "C" empêche la roue de repartir en arrière.
La simplicité de cette machine par rapport à la précédente vient qu'elle ne comporte pas de rampe hélicoïdale, mais cette rampe serait elle suffisante?
D'autres variantes sont possibles
"Bruce Welsh est un ingénieur en électronique à l’esprit ouvert qui se consacre aux énergies alternatives depuis vingt ans. Il est convaincu que l’on peut construire des machines à sur-unité.
Il avait un oncle qui aimait bricoler, inventer. Un jour, Bruce âgé de sept ou huit ans, rendit visite à l’oncle qui montra au grand-père le nouveau jeu qu’il avait fait pour ses enfants (il en avait six).
Le jeu faisait dans les soixante centimètres de hauteur pour une base de trente centimètres carrés. Il consistait en une rampe en spirale de trois tours et demi. Au bas de la rampe était placée une roue à aubes, reliée par quelques engrenages à un ascenseur remontant jusqu’au dessus du jeu où se trouvait une trémie garnie de dix billes. Une ouverture à bascule dans la trémie permettait de laisser passer, une par une les billes qui descendaient la rampe en trois à cinq secondes.
La bille touchait la roue à aube ce qui donnait un petit mouvement ascendant qui libérait une autre bille alors que la première était sur l’ascenseur et allait vers la trémie. Et ainsi de suite.
Il y avait cinq billes à la fois sur l’ascenseur et le jeu une fois lancé ne s’arrêtait plus. Pour débuter, toutes les billes devaient être dans la trémie et Bruce se souvient d’avoir été grondé par l’oncle car il avait touché la roue à aube, stoppant ainsi le jeu bientôt relancé par l’oncle. Et, plusieurs heures après, le jeu fonctionnait toujours."
On sait que l'énergie nécessaire pour faire remonter un corps à son point de départ est égale à l'énergie apportée par sa chute. Il en faut même un peu plus, car une partie de cette énergie se dissipe en frottements dans les diverses pièces de la machine.
Et pourtant, on nous témoigne que cette machine fonctionnait!
La solution est simple:
Sur la rampe curviligne et relevée, les billes sont soumises à la force centrifuge qui leur communique une énergie cinétique supplémentaire, comme dans le cas de la bille sur la courbe brachistochrone.
On peut imaginer une machine un peu plus simple dans le même style:
La roue, comportant un "plancher" incliné, quand la bille arrive en haut, au bout du flasque, elle bascule sur le plan incliné rectiligne; elle y roule doucement, puis tombe sur la rampe courbe, où elle prend de la vitesse et vient percuter une aube de la roue, qui tourne d'une case, libérant une autre bille.
Un cliquet, "C" empêche la roue de repartir en arrière.
La simplicité de cette machine par rapport à la précédente vient qu'elle ne comporte pas de rampe hélicoïdale, mais cette rampe serait elle suffisante?
D'autres variantes sont possibles
Synthèse analytique des brachistochrones dans un champ de vitesse arbitraires
Author: WM Adams a Auteur: WM Adams A
Affiliation: Affiliation: a Hawaii Institute of Geophysics, University of Hawaii, Honolulu, Hawaii Hawaï un Institut de Géophysique, Université de Hawaii, Honolulu, Hawaii
DOI: 10.1080/15210608209379443 DOI: 10.1080/15210608209379443
Publication Frequency: 4 issues per year Fréquence de parution: 4 numéros par an
Published in: Publié dans: Marine Geodesy , Volume 6 , Issue 1 1982 , pages 93 - 100 Marine Geodesy, Volume 6, numéro 1 1982, pages 93 à 100
Subjects: GIS, Remote Sensing & Cartography ; Geotechnical Engineering ; Physical Geodesy ; Sujets: SIG, télédétection et cartographie, géotechnique; Géodésie physique;
Formats available: PDF (English) Formats disponibles: PDF (Anglais)
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Abstract Résumé
Consider the problem of finding the brachistochrone between two specified points on the boundary of an area having a spatially varying velocity field. Considérez le problème de trouver l'brachistochrone entre deux points indiqués sur la limite d'une zone ayant un champ de variations spatiales de vitesse. The arbitrary velocity field can be synthesized from a set of simple functions, for example, by a Fourier representation or a power-series expansion. Le champ de vitesse arbitraires peuvent être synthétisés à partir d'un ensemble de fonctions simples, par exemple, par une représentation de Fourier ou d'un pouvoir-développement en série. Now consider the analogous brachistochrone problem, using the corresponding end points, for each of the simple functions. Maintenant, considérons le problème brachistochrone analogue, en utilisant les points d'extrémité correspondante, pour chacune des fonctions simples. Each of these problems is more easily solved than the prototype problem. Chacun de ces problèmes est plus facile à résoudre que le problème du prototype. The solution to the original brachistochrone problem can be expressed in terms of the solutions to the set of brachistochrone problems on the simpler surfaces. La solution au problème brachistochrone original peut être exprimée en termes de solutions à l'ensemble des problèmes brachistochrone sur la plus simple des surfaces. This synthetic approach has the advantage that each of the specified sets of functions becomes the solution for some extreme condition. Cette approche synthétique présente l'avantage de chacun des ensembles de fonctions spécifiées devient la solution pour certaines des conditions extrêmes.
Author: WM Adams a Auteur: WM Adams A
Affiliation: Affiliation: a Hawaii Institute of Geophysics, University of Hawaii, Honolulu, Hawaii Hawaï un Institut de Géophysique, Université de Hawaii, Honolulu, Hawaii
DOI: 10.1080/15210608209379443 DOI: 10.1080/15210608209379443
Publication Frequency: 4 issues per year Fréquence de parution: 4 numéros par an
Published in: Publié dans: Marine Geodesy , Volume 6 , Issue 1 1982 , pages 93 - 100 Marine Geodesy, Volume 6, numéro 1 1982, pages 93 à 100
Subjects: GIS, Remote Sensing & Cartography ; Geotechnical Engineering ; Physical Geodesy ; Sujets: SIG, télédétection et cartographie, géotechnique; Géodésie physique;
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Abstract Résumé
Consider the problem of finding the brachistochrone between two specified points on the boundary of an area having a spatially varying velocity field. Considérez le problème de trouver l'brachistochrone entre deux points indiqués sur la limite d'une zone ayant un champ de variations spatiales de vitesse. The arbitrary velocity field can be synthesized from a set of simple functions, for example, by a Fourier representation or a power-series expansion. Le champ de vitesse arbitraires peuvent être synthétisés à partir d'un ensemble de fonctions simples, par exemple, par une représentation de Fourier ou d'un pouvoir-développement en série. Now consider the analogous brachistochrone problem, using the corresponding end points, for each of the simple functions. Maintenant, considérons le problème brachistochrone analogue, en utilisant les points d'extrémité correspondante, pour chacune des fonctions simples. Each of these problems is more easily solved than the prototype problem. Chacun de ces problèmes est plus facile à résoudre que le problème du prototype. The solution to the original brachistochrone problem can be expressed in terms of the solutions to the set of brachistochrone problems on the simpler surfaces. La solution au problème brachistochrone original peut être exprimée en termes de solutions à l'ensemble des problèmes brachistochrone sur la plus simple des surfaces. This synthetic approach has the advantage that each of the specified sets of functions becomes the solution for some extreme condition. Cette approche synthétique présente l'avantage de chacun des ensembles de fonctions spécifiées devient la solution pour certaines des conditions extrêmes.